La enseñanza de Las fracciones en primaria

El bajo entendimiento conceptual y los numerosos errores en la aplicación de sus algoritmos, lleva a cuestionarse el nivel apropiado para su enseñanza. El desarrollo espectacular de los ordenadores, acompañado del mayor acceso al manejo de las calculadoras, está modificando profundamente diversos aspectos de la enseñanza de las matemáticas.

¿Qué son las fracciones?

Una fracción representa la división en partes de un todo. Cuando algo se divide en múltiples partes, la fracción muestra cuántas de esas partes tienes.

Las partes de una fracción

Cuando se escribe una fracción hay 3 partes principales: el numerador, el denominador y la línea de fracción.

  • El numerador: representa cuántas partes se tienen. Es el dividendo.
  • El denominador: representa en cuántas partes se dividió el todo. Es el divisor.
  • Línea de fracción: representa la operación de fracción.

Tipos de fracciones

Existen 3 tipos diferentes de fracciones:

  • Fracciones propias: Una fracción apropiada es aquella en la que el numerador es menor que el denominador. Nótese que una fracción propia siempre y en todo momento es menor que uno.
  • Fracciones impropias: Una fracción indigna es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador. Observa que una fracción indigna es siempre y en todo momento mayor que uno.
  • Fracciones mixtas: Una fracción mixta tiene tanto una parte numérica entera como una parte fraccionaria.

¿Cómo se leen las fracciones?

Cuando leemos una fracción primero leemos el número superior (el numerador) y luego el número inferior (el denominador)

Hay dos formas de leer las fracciones:

  1. Con las palabras “partido” o “sobre”.
  2. La manera partitiva.

La primera manera es la más sencilla. Solo tienes que añadir la palabra “partido” o “sobre” en medio de los números, empezando por el numerador. Por ejemplo:

Podemos leerlo como cinco partido seis.

Para la segunda, aunque sencilla, es más elaborada ya que se utilizan dos nomenclaturas distintas para el numerador y para el denominador.

  • El numerador se lee con el nombre cardinal del número (un, dos, tres, cuatro…)
  • El denominador se lee con el nombre fraccionario (medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos y décimos. A partir del 11, se añade la terminación -avos al nombre cardinal. Por ejemplo, onceavos, doceavos…

Podemos leerlo como cinco doceavos.

¿Cómo enseñar las fracciones en primaria?

Sabemos que para llegar a comprender un concepto matemático es necesario “manejar” las diferentes representaciones en las que se manifiesta el concepto y realizar traslaciones entre estas. Siguiendo el modelo interactivo de Lesch (1983), habrá que relacionar en cada interpretación los siguientes aspectos:

  • Situaciones del mundo real: calendario, compras, etc.
  • Modelos manipulativos o concretos: objetos y materiales didácticos.
  • Símbolos orales: mitad de .., dos de cada tres, …etc.
  • Símbolos escritos: flechas, operadores, , a/b,…
  • Gráficos o diagramas: sectores, recta numérica, rectángulo, máquinas operadoras, bolas pintadas, etc.

Pero tan importante es conocer cada una de estas representaciones como las relaciones entre las mismas. Para la formación de conceptos es básico realizar ejercicios de paso de una a otra representación, durante el proceso de aprendizaje.

Para que el niño adquiera el concepto de fracción será necesario que relacione todas las interpretaciones señaladas. Estas deberán introducirse de manera gradual, ya que la comprensión total del concepto de número racional (fracción) es un proceso de aprendizaje a largo plazo.

No hay que olvidar que las nociones matemáticas no se desarrollan todas a la vez y al mismo nivel de operatividad, por ello hay que aceptar que los niños puedan desarrollar una noción de número racional vinculada a la relación todo-parte en un momento inicial de su enseñanza, y que al ampliar el concepto a otras interpretaciones esta noción primitiva se reconceptualice modificándose.

De esta forma se concibe el peso de las diferentes interpretaciones de la idea de fracción por la secuencia de enseñanza, pretendiéndose que al final de la construcción del concepto de fracción tenga como subconceptos las diferentes interpretaciones que se han ido adaptando a lo largo de su formación (aplicabilidad, a diferentes interpretaciones, hasta que se consigue pasar de una interpretación a otra sin impedimentos conceptuales).

Si nos planteamos el objetivo a largo plazo de la comprensión global del número racional, se deben establecer todas las conexiones entre distintas interpretaciones a lo largo del proceso de enseñanzas-aprendizaje.

En muchas de las aplicaciones de las fracciones es necesario conocer que para representar un número racional, sirve cualquiera de los miembros de la case de fracciones equivalentes. La noción de fracciones equivalentes es necesaria para:

  • Comparar los tamaños de fracciones o decimales distintas (esto, es para distinguir cuál de las fracciones es mayor).
  • Convertir las fracciones en decimales y porcentajes.
  • Encontrar la fracción irreducible.
  • Realizar operaciones con fracciones.
  • Trabajar con razones y la proporcionalidad.

La noción de equivalencia se suele introducir a partir de la idea de fracción como “área” o como “conjunto” ya que se considera que estos dos aspectos concretos son los más sencillos de captar. En cualquier caso, es interesante también introducir el modelo de la “recta numérica”, mostrando la equivalencia de fracciones al relacionar los diagramas rectangulares y la recta numérica.

Puede suceder, incluso, que utilizando la calculadora con el énfasis que ésta pone en las cifras decimales., resulte a la larga más conveniente ligar los aspectos de “división” y “recta numérica”.

En cualquier caso, la mayor dificultad que presenta la construcción de fracciones equivalentes radica en el hecho de tener que vincular las manipulaciones que se realizan en contextos concretos con las reglas de obtención de fracciones equivalentes a una dada, que son propias del nivel simbólico.

La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones, ya que los niños al considerar el contexto de la regla numérica no siempre se dan cuenta de que las fracciones también son números.

Para comparar entre sí dos fracciones si tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador; si las dos fracciones tienen igual numerador será menor la que tenga el mayor denominador; si no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se reduce a común numerador o denominador y se aplica una de las reglas anteriores.

Una propiedad importante del orden de dos números racionales es que dados dos racionales, por muy próximos que los elijamos siempre podemos encontrar tantos racionales como queramos que sean mayores que uno de ellos y menores que el otro. Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos números racionales distintos existen siempre infinitos racionales. También se dice que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso. Todo esto implica que en los números racionales, a diferencia de lo que sucede en los naturales, deja de tener sentido el concepto de número “siguiente” o “anterior” ya que nunca podremos encontrar dos racionales que tengan otros racionales entre ellos

Entre los diversos aspectos de significado de las fracciones, consideramos dos categorías principales, que son las que en nuestra opinión ofrecen un mayor significado de las operaciones con fracciones: las fracciones en la medida y las fracciones como operadores.

La fracción utilizada para la medida expresa una parte de una unidad física. Este uso está relacionado con los aspectos “áreas” y “recta numérica”.

La utilización de las fracciones como operadores supone la comparación de dos números, uno de los cuales es expresado como fracción del otro. Este aspecto está en conexión con los de “subconjunto” y “razón”.

La necesidad de las fracciones

En el caso concreto de las fracciones la mayoría de las calculadoras muestran los resultados en notación decimal, lo que se ha traducido en una reducción aún mayor del uso de las fracciones en cálculos prácticas. También con la implantación del euro como moneda de la U.E. el uso de los decimales cobra un mayor protagonismo en la vida cotidiana y por lo tanto también en el aprendizaje de las matemáticas desde los niveles de Educación Primaria.

A pesar de ello, el estudio de las fracciones es uno de los temas fundamentales en la enseñanza de las matemáticas en la Educación Primaria. Ahora bien, la permanencia de su estudio en la escuela no debería entenderse como persistencia del desconocimiento de su significado, infrautilización del concepto y sobrevaloración de los algoritmos con que en ocasiones nos encontramos.

Veamos, en primer lugar, por qué es importante el estudio de los números racionales.

  • Se encuentra cargado de un potencial histórico vastísimo. Desde el uso de las fracciones unitarias conocido por los egipcios, preconcepto importante, la vinculación al sistema de numeración de los babilonios, que aún perdura en nuestras medidas de tiempo, pasando por las ideas griegas, que dan lugar al estudio de las proporciones hasta la relación fracción-decimal que no aparece en plenitud hasta muchos siglos después.
  • Necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros para que en el conjunto extendido tenga sentido la división de números y para resolver el problema de la medida.
  • Se dan relaciones del concepto de número racional con diversos campos de la enseñanza de las matemáticas (operaciones algebraicas, medida, proporcionalidad, introducción al número real, funciones, etc…)
  • Los números racionales positivos (fracciones positivas) están presentes en el lenguaje cotidiano, tanto oral como escrito, y ello puede apreciarse en una simple lectura del periódico en sus diversas secciones: deportivas, de sociedad., economía, etc…

Socialmente podemos considerar cuatro usos básicos del concepto de fracción en la actualidad:

  • Fracciones de las unidades fundamentales del Sistema Métrico.
  • Fracciones de unidades o periodos temporales,
  • Fracciones en situaciones de contrato, convenio o reparto,
  • Fracciones en situaciones culturales o históricas, la mayor parte de ellas en desuso o habiendo perdido el significado de fracción.

A la vista de este listado podemos concluir que el uso de fracciones es socialmente valioso y significativo. Sin embargo, el hecho de que sean muy pocas las fracciones de uso social, aconseja ser muy cuidadosos en el empleo de las mismas, procurando restringir al máximo las actividades de enseñanza en las que las fracciones a emplear tengan denominador superior a doce.

Aprendizaje de las fracciones

El aprendizaje de las fracciones es interesante desde una perspectiva formativa, ya que se trata de un concepto complejo que contiene diversas interpretaciones y conflictos.

Centrándonos en los aspectos didácticos de los números racionales positivos, para conseguir una comprensión amplia y operativa del número racional, hay que proporcionar a los niños adecuadas experiencias que permitan la relación entre todas sus posibles interpretaciones, ya que el número racional debe concebirse como un “megaconcepto” (sintetizando todas las posibles interpretaciones o conceptualizaciones).

Por otra parte, el manejo y la interrelación de todas estas interpretaciones precisa de unas determinadas estructuras conceptuales. En primer lugar, las posibles interpretaciones matemáticas del número racional, de las estructuras cognitivas vinculadas a cada una de ellas y de las representaciones necesarias para el manejo de cada interpretación.

Seguimos la clasificación dada por Kieran (1976) según la cual los contextos que hacen significativa la noción de número racional son los siguientes:

  • La relación parte-todo y la medida, centrándonos en la representación:
    • En contexto continuos (como subárea de una región entera)
    • En contextos discretos (como comparación entre un subconjunto de un conjunto de objetos discretos y el conjunto entero).
    • En el modelo de la recta numérica (como punto de una recta graduada, ubicado en posición intermedia entre dos números naturales.
  • La fracción como cociente: Fundamentalmente en situaciones de reparto y para contextos continuos.
  • Las fracciones como método de comparación de los tamaños de dos conjuntos o de dos medidas: Se trata de la fracción como razón, que se interpreta como un índice comparativo entre dos cantidades de magnitudes. En este caso, no existe un “todo” o unidad y por tanto, la relación es “parte-todo” o “todo-todo”. En contextos discretos o continuos.
  • La fracción como operador: La fracción se conceptúa como un operador que actúa sobre una situación (estado) y lo modifica. La fracción es una sucesión operatoria de una división y de un a multiplicación, o a la inversa.

Operaciones con fracciones

La adición y la sustracción de fracciones resultan mucho más fáciles de relacionar con la medida, mientras que la multiplicación y la división se relacionan de forma más fácil con la idea de fracción como operador. De manera que si únicamente se utiliza uno de los modelos concretos de representación, posiblemente este modelo no sea adecuado para ilustrar uno de los pares adición/sustracción o multiplicación/división, según el modelo adoptado. En ambos tipos de operación, es preciso distinguir claramente entre la comprensión del significado de la operación, y la destreza para efectuar con éxito los cálculos.

Fundamentalmente, las aplicaciones de la adición y sustracción de fracciones, se encuentran en el campo de la medida. En consecuencia, resulta importante el examen crítico de la importancia que a fines prácticos puede tener la enseñanza de lo que no sean los métodos informales de sumar fracciones corrientes y emparentadas (por ejemplo, diciseisavos, octavos, cuartos, y medios; posiblemente también tercios y sextos, o quintos y décimos).

En general, el significado de la adición se suele introducir mediante una representación en “área”, sin embargo, si se opta por representar las fracciones a sumar en distintos diagramas, se pueden plantear dificultades, pues el niño puede interpretar la solución refiriéndola a la superficie total de ambos rectángulos. Problemas parecidos aparecen cuando el total excede de una unidad entera. El modelo de “recta numérica”, aunque resulte inicialmente más difícil de aprehender, elude los problemas anteriores. La representación mediante una recta numérica posee, además, la ventaja de guardar una relación inmediata con la mayoría de los instrumentos de medida; por ejemplo, reglas, probetas de medición de áridos o líquidos, etc. Por lo que la propia escala puede servir de ayuda para la adición o sustracción.

La enseñanza de la adición o sustracción de las fracciones en su aspecto simbólico exige, la comprensión de la noción de equivalencia y la capacidad de saber utilizarla. Este proceso es conocido como “reducción a común denominador”.

En el contexto de los números naturales, existen pruebas de que la multiplicación es de las cuatro, la operación a la que más difícil resulta asociar significado concreto. En el caso de las fracciones, posiblemente el problema sea mucho mayor.

Una imagen concreta de la multiplicación de fracciones, a veces utilizada en la enseñanza, es que el producto de dos fracciones queda representado por el área de un rectángulo y en otras es posible utilizar el modelo de operador. En cualquier caso, la multiplicación de fracciones se utiliza muy poco y no es suficientemente comprendida, y de hecho, puede no ser realmente necesaria en muchos problemas de la vida real cuando el proceso puede ser evitado hallando una “razón” (dividiendo, para luego multiplicar tal razón por un número entero). En definitiva las investigaciones (Dickson, 1991) sugieren que el cálculo de productos fáciles, planteados fuera de contexto, no son necesariamente más difíciles que los cálculos de adición o sustracción.

Sin embargo, el significado de la multiplicación de fracciones resulta claramente muy difícil, tanto de comprender como de aplicar en los problemas de la vida cotidiana; y de hecho, existen dudas de que realmente sea necesario que el niño adquiera competencia en la propia operación, dado que la mayoría de los problemas reales pueden ser fácilmente resueltos por otros medios.

Para el caso de la división de fracciones, aún resulta más difícil proporcionar posibles significados concretos para un cociente. Tal significado dista mucho del intuitivo de la división en el caso de números enteros, en que se trata de repartir o de agrupar. Incluso el propio cálculo resulta más complejo que en el caso de la multiplicación.

Así pues, estos métodos arrojan, una vez más, considerables dudas sobre la utilidad de enseñar el significado de la división de fracciones o los métodos de efectuarla a la mayoría de los niños, en especial, cuando resulta tan difícil hallar ejemplos en la vida cotidiana que no pueden ser mejor resueltos por otros métodos.

DIFICULTADES Y ERRORES más COMUNES en primaria

Una primera dificultad en el estudio de las fracciones consiste en que los alumnos atribuyan un significado correcto a la noción de fracción, y por tanto, a cada uno de los enteros que aparecen en la escritura de una fracción. Se trata de una notación nueva para los alumnos de primaria, ya que hasta ese momento sólo conocen los números naturales.

Relacionados con la representación de cantidades en forma de fracción existen numerosas dificultades derivadas de:

  • La comparación entre las partes en lugar de las partes con el todo
  • Las representación sobre la recta numérica ofrece dificultad cuando los alumnos deben decidir cuál es la unidad
  • También tienen dificultades cuando en la recta tienen representados más números además del 1
  • Un caso interesante se refieren a la dificultad que presenta la representación de fracciones impropias

En relación con las operaciones entre fracciones, los algoritmos correspondientes a la multiplicación y la división son más sencillos e intuitivos que los de la adición y la sustracción. Ocurre exactamente lo contrario, como se ha mencionado anteriormente cuando nos referimos a la comprensión de los conceptos asociados a esas operaciones. En cuanto al orden entre fracciones se considera que ½ es menor que 1/3 porque 2 es menor que 3. En general parece que los números naturales son un obstáculo para el dominio de los números racionales y decimales.

Materiales y recursos

Como materiales y recursos para la enseñanza de las fracciones existen en el mercado numerosas opciones entre las que cabe destacar el uso de la calculadora, el papel y los juegos de mesa: dominós de fracciones o el bingo de fracciones.