Todos coincidimos en asumir que la escuela debe preparar a los alumnos para integrarse de forma adecuada a la sociedad. Esta adecuación comprende entre otras la de adquirir una serie de facultades para utilizar técnicas necesarias en sus puestos de trabajo cuando se incorporen al mundo laboral.
Algunas competencias numéricas (Centeno, 1988) en relación con los números decimales, parece que deberían formar parte de la cultura de todo ciudadano y que ya justificarían su enseñanza, por lo que aparecen en todos los currícula de matemáticas de primaria.
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Los números decimales en primaria
Además de la reciente implantación del euro como moneda única de la UE, de las situaciones de continuidad y aproximación de medidas, que serían las situaciones más significativas en las que aparecen los números decimales, en otras áreas (ciencias naturales y biológicas,…) se presentan situaciones en las que son necesarios los decimales para su descripción..
Podemos considerar en un principio que no es muy distinta la relación entre las fracciones y las fracciones decimales, de la que existe entre el sistema de numeración romano y el sistema arábigo que normalmente utilizamos; en ambos casos, los conceptos subyacentes, trátese de números enteros o de racionales, son los mismos.
En el sistema de numeración romana seguramente resulta más fácil de entender al principio que nuestro sistema arábigo de representación decimal “valor relativo”, exactamente lo mismo que el sistema de denotar una fracción como ¼ por ejemplo, resulta más comprensible en los estadios iniciales que 0,25.
Pero, exactamente igual que el sistema de notación arábiga produce resultados superiores, en cuanto entramos en el ámbito de las operaciones complejas, ordenación de números, etc, la representación de las fracciones decimales por los decimales presenta ventajas parecidas. Por esta razón, y más concretamente, dado que ése es el sistema de notación utilizado en calculadoras, ordenadores y demás, parece verosímil que el sistema decimal sea utilizado cada vez más en las aplicaciones y que el uso de fracciones vaya decayendo, salvo a nivel informal. En general, la costumbre es introducir antes las fracciones que los decimales, haciéndolo, además, de modo concreto y recurriendo en muchos casos a modelos de fracciones de los anteriormente comentados, dando por sentado que la noción de fracción está ya firmemente adquirida, aunque existen pruebas que señalan que a la mayoría de los niños les resulta difícil traducir la notación decimal en notación fraccionaria por este procedimiento.
Una manera que puede evitar este contratiempo, es la de tratar los decimales de modo más concreto, relacionando la notación con significados concretos análogos a los sugeridos para las fracciones, en lugar de limitarse a definir el significado de la notación decimal en términos bastante abstractos.
Debido a que los decimales posibilitan una notación alternativa para los números racionales, que también se pueden expresar mediante fracciones, se sigue que cada uno de los “significados” concretos de fracción, pueden y deben ser introducidos en cualquier programa con el fin de enseñar los significados de los decimales. En la vida cotidiana, sin embargo, el campo donde mayor probabilidad tenemos de encontrar números decimales, es el de las medidas, donde se hace continuamente uso de fracciones de una unidad patrón de medida y actualmente también con la unidad monetaria del euro.
Así pues, al analizar el significado de los decimales de una manera concreta, resaltamos los aspectos siguientes:
- Los decimales como subáreas de una región unitaria.
- Los decimales como puntos de una recta numérica.
- Los decimales como resultado de una operación de división.
Como la representación decimal de un número está basada en el concepto de fracción (décimas, centésimas,…) la comprensión de la idea de equivalencia tiene tanta importancia como en el caso de las fracciones aunque la notación del valor relativo hace menos explícito el concepto de equivalencia.
Es evidente la importancia que reviste la comprensión de los porcentajes en la sociedad (actividades comerciales, tasas de variación, intereses de préstamos, descuentos, impuestos, etc.). Como en casi todas las aplicaciones de los porcentajes se encuentran implícitas las nociones de equivalencia, parece fundamental la comprensión de este concepto, sobretodo a partir de los aspectos de “subconjunto” o “razón” de las fracciones, ya que casi todas las aplicaciones de los porcentajes guardan relación con ellos.
Enseñanza de la lectura de números
Una enseñanza correcta de la lectura de los números debería seguir el siguiente orden lógico:
- Aprender los nombres de los números del 0 al 9 (nombres de cada una de las cifras).
- Aprender los nombres de los números de dos cifras.
- Nombres específicos de los números; 11, 12, 13, 14 y 15. Tiene carácter de irregulares pues sus nombres no corresponden a las normas generales y deben ser recordados después de haberlos memorizado.
- Nombres específicos de las decenas; 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
- Nombres de números de dos cifras distintos de los anteriormente citados. Para nombrarlos se precisa:
- Observar el número de cifras que tiene el número y si tienen nombre específico.
- Especificar las relaciones entre las cifras. La cifra de la izquierda corresponde a las decenas, mientras que la de la derecha corresponde a las unidades
- Dar a cada cifra su nombre específico según el lugar que ocupa y comenzando por la izquierda (decenas) y unirlo mediante la conjunción y con el de las unidades.
- Aprender los nombres de los números de tres cifras. El procedimiento es similar al caso anterior añadiendo la palabra cientos correspondiente a la cifra situada más a la izquierda. Hay que destacar que 500 tiene un nombre específico “quinientos” y no se lee “cinco cientos”
- Nombres de los números entre 1000 y 999.999. El trabajo que se requiere es el de separar las cifras, comenzando por la derecha, en grupos de tres. El grupo de la izquierda (de una, dos o tres cifras) se lee como tal número y se añade la palabra mil. Después se añade la lectura del grupo de la decena (de tres cifras) como se ha señalado anteriormente.
- Nombres de números de seis o más cifras.
La lectura de estos números exige considerar grupos de seis dígitos comenzando por la derecha y añadir la palabra millón a los que están colocados a partir de la posición sexta. Hay que destacar los nombres específicos para algunas potencias de diez: diez, cien, mil, millón, billón, trillón.
Enseñanza de la escritura de números
La escritura de números consiste en que: dado un número expresado de manera verbal hay que asociarle una expresión escrita.
Esto comporta interpretar los significados de las palabras y las relaciones entre las mismas. Para realizar la tarea anterior es importante tener en cuenta las siguientes cuestiones:
- Evaluar si la expresión verbal se refiere a un número de una cifra, o a un número de los que tiene nombres específicos.
- En los demás casos de números de dos cifras, entender que la primera parte de la expresión verbal, anterior a la conjunción “y” hace referencia a las decenas y debe ir colocada a la izquierda, y se representará mediante una sola cifra, mientras que la otra parte corresponde a las unidades y se debe colocar inmediatamente a la derecha del anterior, y representarse también por una sola cifra.
- Para números de tres cifras se debe tener en cuenta que el prefijo de la palabra cientos debe escribirse a la izquierda por una sola cifra (salvo que aparezca la palabra cien). A continuación se representa la palabra correspondiente a las decenas mediante una sola cifra, que debe ir colocada inmediatamente a la derecha de la cifra de las centenas y finalmente se representa la palabra correspondiente a las unidades también mediante una sola cifra, que debe ir colocada inmediatamente a la derecha de la cifra de las decenas. Cabe destacar como un caso especial los números de tres cifras que después de la palabra cientos el número de las decenas es un número de los que hemos llamado irregulares o de nombres específico. Ejemplo: “doscientos quince”.
- Con números de tres o más cifras, las actuaciones son similares a las descritas anteriormente.
Comparación de decimales
Para comparar números decimales se han de tener en cuenta las siguientes cuestiones:
- Si tienen diferente parte entera es suficiente comparar esa parte entera de cada uno
- Si tienen la misma parte entera se resta la parte entera y se comparan las partes decimales comenzando con la unidad de mayor orden.
Operaciones con decimales
El significado de un número racional, cuando se expresa por medio de un decimal es más difícil de aprender que cuando se expresa con una fracción, pero cuando interesa el significado de las operaciones aritméticas ocurre lo contrario por su semejanza con las de los números naturales.
El comportamiento de los decimales y los números naturales grandes en el caso de la adición y la sustracción es muy parecido. Por tanto dando por supuesto que los niños comprenden el significado de la notación decimal y el de la adición y sustracción de números grandes, el paso para transferir estos procesos a los decimales debería ser relativamente pequeño, por tratarse de procesos totalmente análogos.
La transferencia de las operaciones con números naturales grandes en el caso de la multiplicación y división de decimales no es tan sencilla como en el caso de la adición y sustracción. El paso conceptual parece que es mucho mayor. Como en el caso de las fracciones, los principales significados para la multiplicación son: como área, que puede ser el más sencillo pero menos utilizado en la práctica, y como tasa o razón. En el caso de la división, tan sólo es posible concebirla como operación inversa de la multiplicación en los dos aspectos anteriores.
Relaciones entre los números decimales y las fracciones
Los decimales finitos representan fracciones cuyo denominador es divisible sólo por 2 o por 5, pero estas son solo algunas fracciones. El resto da lugar a números decimales denominados periódicos. Existe una relación entre los números periódicos y las fracciones, de forma que todo número periódico se puede escribir en forma de fracción y las fracciones cuyo denominador no sólo es divisible por 2 o por 5 dan lugar a números periódicos.
Los números periódicos son aquellos en los que la parte decimal se repite indefinidamente. Al conjunto de cifras que se repiten se le llama periodo. Cuando la parte decimal de una expresión decimal periódica consiste únicamente en la repetición indefinida del periodo, la expresión decimal es periódica pura. Si además existen una parte no periódica se dice que la expresión decimal es periódica mixta.
Se llama fracción generatriz de una expresión decimal la fracción que la genera, es decir, aquella fracción tal que al dividir el numerador por el denominador da lugar a la expresión dada. Por ejemplo para hallar la fracción generatriz de un número decimal bastará tomar una fracción cuyo numerador es la expresión decimal del número sin la coma, y cuyo denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.
Dificultades y errores comunes
La escritura decimal de los números ha producido confusiones entre lo que es un número decimal y lo que no es un número decimal, identificando más al número decimal por su escritura decimal que por sus propiedades intrínsecas, lo que ha originado cierta ambigüedad entre la escritura decimal y el número decimal, de tal manera que decimal está asociado a números con comas en contraposición al número entero o número sin comas. Además:
El sistema de denotar una fracción como 3/5, por ejemplo, resulta más comprensible en los estadios iniciales que la forma decimal 0,6 (Dickson, 1981, p. 305).
Brown (1981) encontró que los decimales interpretados como “áreas” y como “línea numérica” ofrecían una dificultad muy similar. En uno y otro caso a los niños les resultó más fácil de manejar las décimas que las décimas y las centésimas combinadas.
Los números naturales son un obstáculo para el aprendizaje de los decimales. Durante la etapa del aprendizaje de los decimales muchos niños suelen extender su conocimiento de los naturales y aplicarlo de manera equivocada a los decimales, predominando el conocimiento ya consolidado del número natural sobre el conocimiento en construcción de los decimales. En otro grupo de errores el número decimal es considerado como una pareja de números naturales. También provoca errores la falta de conocimiento del sistema de numeración decimal:
- Los niños interpretan las cifras que hay detrás de la coma decimal como un número natural
- Errores relacionados con la lectura y escritura de los números
- Errores relacionados con el cero
También tienen dificultades con el orden de los números decimales y en las operaciones fundamentalmente en relación con la posición de la coma decimal, que en realidad no es una simple cuestión mecánica sino que desvela una falta de dominio del sistema de numeración decimal y el concepto de valor posicional de las cifras
Materiales y recursos
Relacionados con la enseñanza de los números decimales se pueden encontrar una amplia gama de materiales como: las regletas Cuisenaire, los bloques multibase, ábacos, las tablas posicionales, el minicomputador de Papy, discos decimales y centésimales, cuadrículas para representar los diferentes órdenes de unidades, la calculadora y numerosos juegos de ordenador relacionados con el significado de los números decimales y sus operaciones.
La idea que subyace a todos ellos es la de extender la numeración de los números naturales a números inferiores a la unidad. A partir de ellos se pueden plantear situaciones en las que el alumno, al enfrentarse al material reflexione, busque relaciones, formule soluciones, se plantee nuevas preguntas, descubra estructuras, en definitiva se vaya preparando para la matematización de relaciones y las operaciones numéricas (Centeno, 1988). Los conceptos matemáticos evidentemente no están en los materiales sino en la interiorización que hace el alumno de sus acciones.
