Los sistemas de numeración

La necesidad de contar, posiblemente, ha sido incluso anterior a la de escribir, pero la utilización de los actuales sistemas de numeración y cálculo son relativamente recientes.

Dado que el hombre es un animal limitado, entre sus muchos defectos hay uno que ha jugado un papel fundamental en la historia de los números: no es capaz de percibir de forma directa e inmediata grupos de objetos con más de cuatro unidades. Es decir, sin un aprendizaje previo, sólo puede reconocer de golpe (subitización) conjuntos de objetos de 1, 2, 3 o 4 elementos. A partir de ahí es evidencia la necesidad de contar.

¿Qué son los sistemas de numeración?

Un sistema de numeración se puede concebir como un conjunto finito de reglas y símbolos que nos permiten representar de forma verbal y escrita todos los números naturales. A los símbolos utilizados se les llama cifras o guarismos.

Todavía hoy es desconocido el momento exacto en que el ser humano aprendió a contar, pero lo que si sabemos es que para ello utilizó determinadas herramientas de apoyo. Posiblemente, nuestros antepasados utilizaron, en primer lugar, las referencias que proporciona la propia Naturaleza (alas de un pájaro, patas de un animal,…) y más adelante tomó como referencia su propio cuerpo, aspecto éste que podía justificar por qué la mayoría de los sistemas de numeración consideraban como base el número 10, tal y como ocurre con nuestro actual sistema, los diez dedos de las manos.

No obstante, se presentan algunas excepciones como los mayas, los aztecas, los celtas que contaban con sistemas de base 20, quizás porque utilizaban los dedos de las manos y de los pies.

Aún perduran las huellas de ese modo de numeración, por ejemplo, en francés 80 se dice cuatro veintes. Por su parte, los sumerios y los babilonios sumaban en complicados grupos de 60. De ellos hemos heredado la división del tiempo en horas de 60 minutos y de 60 segundos así como la partición del círculo en 360 grados.

¿Cuándo se dio el paso de la contabilidad manual a la escritura de los números? Parecen que tal hecho ocurrió en ELAM, situado en el actual Irán, 6000 años antes de Cristo. Allí se creó un rudimentario sistema de símbolos cuneiformes para representar algunos números que luego fue adoptado por los sumerios de la Baja Mesopotamia…. A estos últimos corresponde el honor de haber creado las cifras más antiguas que se conocen, antes incluso que la aparición de la escritura.

A partir de la elección de determinados símbolos para representar las cantidades, la historia de los números es un fascinante proceso de perfeccionamiento. En la mayoría de las civilizaciones mesopotámica y egipcia se seguía un criterio de agrupamiento simple (sistemas aditivos) de los símbolos para construir estructuras fácilmente identificables a primera vista. Pero cuando las cantidades son grandes este sistema no es eficaz y surgen problemas para su representación, a los que nuestros antepasados intentaron dar respuesta:

Algunos escribanos egipcios inventaron un signo para la decena, algo parecido a una U invertida. Así cuando se trataba de escribir 11 lo que en realidad se hacía era simbolizar 10+1 ó 1+10. Con otro símbolo distinto representaban un centenar y con otro un millar. Esto sentó las bases para que posteriormente los griegos y los romanos, inventaran sistemas de numeración basados en repeticiones de símbolos y la sucesión de estos en orden ascendente o descendente. Pero, si en el caso de los egipcios tenían como base el 10, los romanos eligieron una base más pequeña el 5. En un principio los romanos no tenían limitación en la repetición.

La numeración que forjaron los matemáticos y astrónomos de Babilonia, antes de la época del rey Hammurabi (1972-1750 a.C.) fue una de las más notables de la Antigüedad. Contrariamente a la mayoría de los sistemas de la época, el valor de sus cifras estaba determinado por su posición en la escritura de los números. Pero en lugar de ser decimal, como nuestro actual sistema posicional, su base era sexagesimal, lo que quiere decir que sesenta unidades de un determinado orden eran equivalentes a una unidad del orden inmediatamente superior. Los números del 1 al 59 formaban las unidades simples o de primer orden; las “sesentonas” constituían las unidades de segundo orden y así sucesivamente. Este sistema de numeración sólo utilizaba dos cifras: un clavo que representa la unidad y una cuña que representaba nuestro actual número 10. Los números del 1 al 59 estaban representados mediante un sistema aditivo.

Es el sistema posicional hindú aprendido y extendido por los árabes del que proviene nuestro sistema de numeración decimal.

Nuestro sistema de numeración

Los criterios en los que está basado nuestro sistema de numeración son:

• Diez símbolos: 0, 1, 2, ,,,, 9 que representan al cero y los primeros números naturales.
• Cada diez unidades simples o de primer orden se resumen mediante una unidad de segundo orden (decena). Diez decenas constituyen una unidad de segundo orden (centena)…
• El número diez es la base del sistema y cada unidad de un orden se puede expresar como una potencia de la base 10.

Unidad de primer orden → 1.

Unidad de segundo orden (decena) → 10

Unidad de tercer orden (centena) → 100.

• Cada número se expresa como reunión de unidades de diversos órdenes, pero el número de unidades no puede exceder de nueve.
• Cada cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades de orden inmediatamente superior, lo que les da un valor relativo.

Aprendizaje del sistema de numeración

Aunque no hay una completa unanimidad entre los investigadores, podemos caracterizar las etapas en el aprendizaje del “principio del valor posicional” en los niños de la siguiente forma:

El número como un todo

El niño, en esta etapa, percibe los números de manera global, representándolos verbalmente y a través de recuento. Por ejemplo, la palabra “dieciocho” describe toda la cantidad que indica el número y éste no aparecerá descompuesto de ningún modo.

Conocimiento primario de la propiedad posicional

En el número “diez-y-ocho”, el niño debe distinguir, y especialmente en su versión numérica (18) que cada cifra tienen un significado distinto: el 8 se refiere a ocho objetos y el 1 a un objeto con un valor diferente al 8, que se nombran respectivamente como unidades y decenas. Corrientemente en esta etapa se presentan errores, como pronunciar el número 18 como uno-ocho, en vez de dieciocho, o el desconocimiento del valor posicional del cero.

Reconocimiento del valor posicional de las decenas

El niño debe ser capaz de reconocer que, en el número 18, la cifra 8 representa las unidades sueltas y la cifra 1 las decenas que tiene. Es muy interesante en esta etapa realizar ejercicios de comparación de las decenas con las unidades a que equivalen.

Partición múltiple de una cantidad

Esta etapa está caracterizada por la influencia del esquema parte-todo en el conocimiento del sistema de numeración, tomándose el reconocimiento inicial del principio del valor de posición de forma más flexible y operativa al mismo tiempo que se comprenden que existen otras formas equivalentes de expresar la misma cantidad. Por ejemplo: 18=10+8=9+9

Ordenación de los números

Se trata de establecer la ordenación de los números realizando actividades sobre el tamaño de los conjuntos.

En el primer curso de Primara, los currículos escolares se preocupan del aprendizaje del significado de la decena, considerado éste como un momento importante en el aprendizaje de la representación del número, ya que aparecen todos los aspectos conceptuales propios del sistema de numeración decimal. A partir de las unidades, se construye el concepto de decena.

Enseñanza del sistema de numeración

Para comprender el concepto de decena, el alumno de primaria, debe poseer unos conocimientos previos como los siguientes:

1. El niño debería conocer la cardinalidad de los números de 0 a 9.
2. Saber contar de uno a diez tanto rutinaria como racionalmente
3. Saber leer los símbolos de 0 a 9.
4. Ser capaz de asociar estos símbolos con conjuntos o colecciones.
5. Diferenciar entre grupo y elemento, para permitirle realizar agrupaciones con material concreto, verbalizar estas acciones y, posteriormente simbolizarlas.

Una vez que se ha comprendido el concepto de decena, se introducen análogamente y gradualmente los conceptos de centena y de otras unidades de orden superior como unidad de mil, decena de mil etc…

Entre las posibles actividades introductorias para desarrollar las nociones de valor relativo correspondiente a decenas y centenas se puede utilizar la siguiente secuencia de actividades:

Actividades para enseñar el sistema de numeración

1. Formar haces de lápices, palillos, … agrupándolos en decenas y unidades. Colocar cuentas en bolsas de plástico, diez por bolsa. Hablar de decenas y de objetos “sueltos” o unidades. Adquirir, además el hábito de agrupar los materiales con las unidades a la derecha de las decenas.
2. Separar objetos formando decenas e indicando las unidades. En lugar de la mera agrupación, por ejemplo, se puede hacer ensartando cuentas en un hilo, o utilizando bloques de construcción ensamblados en decenas.
3. Actividades con aparatos estructurales prefabricados, como los bloques de Dienes de Base 10 (bloques multibase) en los que los cubos individuales siguen siendo distinguibles, pero no inseparables.
4. La siguiente etapa consiste en pasar a decenas y unidades, donde la decena no tiene señaladas y distinguibles las unidades individuales, sino que es, por ejemplo, meramente una tira de cartulina (Regletas Cuisenaire)
5. El niño se encuentra preparado ahora para representar diez utilizando un objeto que solamente es distinguible de uno por su diferente color o posición.
6. Como último paso el niño puede servirse de un ábaco o de un modelo similar para representar el número.

Es necesario avanzar progresivamente, pasando por estas etapas para que el niño vaya captando la creciente abstracción que supone el paso de la agrupación de objetos en decenas y unidades a la representación de unas y otras mediante unos mismos objetos/símbolos, en los cuales la posición tiene una importancia absolutamente fundamental para determinar si un objeto/símbolo denota una decena o una unidad.

Los niños aprenden a escribir cualquier número de dos cifras a partir de que se insiste en el significado del valor posicional y, en consecuencia, no existe ninguna limitación en las cantidades a representar. Resulta clarificador para el niño que se le pongan ejemplos de muy distinto tamaño (23, 87, 35,…) lo que significa que no tienen necesidad de conocer solo los números del 10 al 19, antes de pasar a trabajar con los del 20 al 29.

En las actividades de profundización o más avanzadas, se puede seguir la misma secuencia para los números de tres o más cifras, no reduciendo el uso de materiales al caso de números de dos cifras. Como continuación del aprendizaje sobre el orden y la descomposición de los números es necesario realizar actividades que presenten de forma progresiva mayores niveles de dificultad.

Comprender el sistema del valor posicional de las cifras, requiere tener en cuenta múltiples aspectos y algunos de los conceptos que conlleva no son fáciles de aprehender, cosa que no debería sorprendernos excesivamente si tenemos en cuenta el largo tiempo transcurrido hasta que la humanidad se ha dotado del actual sistema de numeración.

Por ello es importante que los alumnos entiendan el principio del valor posicional de las cifras para representar correctamente los números. Ya que alguno de los errores que con más frecuencia cometen los alumnos, tanto de primaria como de secundaria, en la representación de los números están relacionados con el principio del valor posicional de las cifras.

Errores y dificultades comunes

Para leer de forma significativa los números de muchas cifras, es necesario evaluar primero su tamaño. Los adultos normalmente leemos de una ojeada los números grandes, agrupando mentalmente los dígitos por tríos, técnica que a los niños les cuesta bastante.

En nuestra notación escrita utilizamos un espacio o un punto para separar cada grupo de millares, como en 45.615.232. Esta forma “oculta” de utilizar el millar como nueva base de numeración parece crear confusiones en los niños. Esta y otras dificultades hacen cometer errores a los niños en la representación de los números grandes:

• Errores en la comprensión del valor posicional.
• Errores en el empleo del cero.
• Errores en la composición y la descomposición. ¿Encontrar, entre varios números dados, el número que es equivalente al que tiene 2 unidades de mil, 35 centenas, 18 decenas y 6 unidades?
• Errores en la ordenación de los números. Por ejemplo ¿cuál es mayor 411 o 258?

Materiales y recursos para la enseñanza de sistemas de numeración

En general, los materiales que se utilizan para la enseñanza de los sistemas de numeración constituyen modelos que aproximan a los alumnos a la estructura abstracta que posee este sistema. Algunos materiales especialmente diseñados en torno a este concepto son:

• Bloques multibase de Dienes. La estructura de estos bloques permite el acercamiento a la idea de agrupamiento múltiple. Está formado por cuatro tipos de piezas que representan las unidades, decenas, centenas y unidades de millar. Se pueden utilizar para representar números, para escribir el número correspondiente a una representación dada, o para ayudar a los alumnos a identificar un tipo de agrupamiento y relacionarlo con los otros
• Tablas de valor de posición. Se utilizan para ayudar a los niños a identificar la posición de cada una de las cifras de un número y relacionarlas con los distintos órdenes de unidades. Esta formada por una tabla dividida en casillas verticales, cada una de las cuales representa uno de los órdenes de unidades de un número. Las actividades que se realizan con este material suelen ser tanto de lectura como de escritura de números y resultan de gran ayuda cuando alguna de las cifras es cero.
• El ábaco. Es un material que está en prácticamente todas las aulas españolas aunque prácticamente no se usa. La distribución de las bolas en cada una de las varillas permite identificar las diferentes posiciones de las cifras de un número. No solamente se puede utilizar en relación con la lectura y escritura de número de varias cifras, sino que también puede ser muy útil para la realización de las cuatro operaciones básicas.