La adición y la sustracción en infantil y primaria

La adicción y la sustracción en infantil y primaria es un tema fundamental. Son unas operaciones que utilizamos a diario y por ello, debemos fortalecerlas lo más posible en las primeras etapas escolares.

Sin embargo, los adultos tenemos una maduración mayor que los alumnos de estas edades y muchas veces se nos olvida que las operaciones de suma y resta supone un ejercicio de abstracción a la que los más pequeños aún no están acostumbrados.

En este artículo pretendemos abordar dicha problemática, pero antes dejemos los conceptos claros:

¿Que es la adición y sus elementos?

La adición o suma es la operación aritmética que representa el hecho de agrupar, agregar, juntar, reunir, añadir… varios elementos.

La adición cuenta con varios elementos:

  • Los sumandos: son los números que se van a proceder a operar.
  • El símbolo de suma (+): Nos indica la operación que se va a realizar.
  • La suma: Es el resultado que nos da de operar los sumandos.
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Las Propiedades de la suma

1# La propiedad conmutativa

Esta propiedad indica que al operar una suma, no importa el orden de los sumandos. El resultado no se ve alterado. Por ejemplo:

3 + 5 = 8 || 5 + 3 = 8

2# La propiedad asociativa

Esta propiedad indica que cuando existen más de dos sumandos, no importa el orden de operación de los mismos. El resultado no se ve alterado. Por ejemplo:

(3 + 5) + 1 = 9 || 3 + (5 + 1)= 9

3# Propiedad distributiva

Esta propiedad nos indica que si sumamos dos números y el resultado lo multiplicamos por un tercer número, el resultado es el mismo si a cada sumando lo multiplicamos por el tercer número por separado y posteriormente sumamos los resultados. Por ejemplo:

(3 + 5) x 2 = 16 || 3 x 2 + 5 x 2 = 16

4# Propiedad del elemento neutro

Esta propiedad nos indica que si un número le sumamos cero, el resultado es igual al número original. Por ejemplo:

3 + 0 = 3

¿QUE ES LA sustracción Y SUS ELEMENTOS?

La sustracción o resta es la operación aritmética que representa el hecho de eliminar, quitar, separar, sustraer… varios elementos.

La sustracción cuenta con varios elementos:

  • El minuendo: Es el primero número de la operación. Se le va a restar el segundo.
  • El sustraendo: Es el segundo número de la operación. Indica la cantidad que se va a restar al primero.
  • El símbolo de resta (-): Nos indica la operación que se va a realizar.
  • La resta o diferencia: Es el resultado que nos da al realizar la operación.
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Las propiedades de la resta

1# Propiedad no conmutativa

Esta propiedad indica que si alteramos el orden del minuendo y sustraendo, el resultado es distinto. Por ejemplo:

5 – 3 = 2 || 3 – 5 = -2

2# Propiedad no asociativa

Esta propiedad indica que el orden de operación cuando existe más de dos números a operar, hará que el resultado varíe. Por ejemplo:

(5 – 3) – 1 = 1 || 5 – (3 – 1)= 3

3# Propiedad no interna

Esta propiedad indica que el resultado de restar dos números naturales no siempre dará como resultado un número natural. Por ejemplo:

3 – 5 = -2

4# Propiedad de la diferencia nula

Esta propiedad indica que si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen en la misma cantidad el resultado no varía. Por ejemplo:

5 – 3 = 2 || (5 + 2) – (3 + 2) = 2

La primera etapa para sumar y restar

Diversas investigaciones indican que la mayoría de los niños llegan a la escuela con una gran cantidad de conocimientos matemáticos informales, basados fundamentalmente en el recuerdo.

Si aceptamos la hipótesis constructivista del aprendizaje, el conocimiento informal desempeña un papel crucial en el aprendizaje significativo de la aritmética formal (basada en el manejo de la notación posicional de nuestro sistema de numeración).

Con independencia de cómo se introduzcan las técnicas, símbolos y conceptos matemáticos en la escuela, los niños tienden a interpretar y abordan la matemática formal en función de su matemática informal. Por lo tanto, la matemática informal es fundamental para el dominio de las técnicas básicas y par enfrentarse con éxito a la matemática más avanzada.

Así, pues, la enseñanza formal debe basarse en el conocimiento matemático informal de los niños. Las lagunas existentes entre el conocimiento informal y la instrucción formal pueden explicar las dificultades de aprendizaje.

En general la enseñanza de la aritmética en la escuela se ha caracterizado por:

  • Descuido en dotar de significado a cada operación.
  • Enseñanza exclusiva del algoritmo apropiado para cada operación
  • No se trabaja el cálculo mental ni los procesos de aproximación.
  • Inercia social a mantener el predominio de los algoritmos escritos (imposición de la cultura de unas clases sociales sobre otras, imposición de los padres, el maestro tiene un gran control del proceso de enseñanza,…)

Algunas de estas situaciones han cambiado, las necesidades son otras, y los cambios tecnológicos como el fácil acceso al empleo de las calculadoras debe cambiar la enseñanza de la aritmética en la escuela.

Los niños son capaces, mediante el recuento de resolver situaciones en las relacionadas con las operaciones de la adición y la sustracción. Dichas operaciones provienen básicamente con los significados de reunir, añadir, etc… para la suma y de quitar, separar etc… para la resta.

Inicialmente debe dedicarse un tiempo a analizar la tarea de resolver problemas de suma y resta, pero sin empleo de escritura, ni por supuesto algoritmos. Son los llamados problemas verbales, y se consideran situaciones que se plantean al niño la búsqueda de una estrategia que le permita alcanzar el resultado pedido. Dichas situaciones son:

  • Situaciones de transformación o de cambio. En estas situaciones determinados objetos o colecciones sufren transformaciones en las que se les añade o quita una parte lo cual produce un cambio en las cantidades (cardinal, medida,… etc.) que los representan.
  • Situaciones de parte-todo o de combinación. Son situaciones en las que se consideran cantidades (cardinales, medidas, etc.) que hacen referencia a un objeto o colección que está descompuesto en partes.
  • Situaciones de comparación: En estas situaciones se comparan las cantidades que caracterizan un objeto o colección de objetos con las referentes a otro objeto o colecciones.

👉 Tenemos un artículo fantástico de estrategias para resolución de problemas.

El grado de dificultad de un problema verbal de suma o resta puede estar determinado por diversos factores como son:

  • El lugar que ocupa la incógnita: el resultado o uno de los términos.
  • El significado de la situación: de cambio, de combinación y de comparación.
  • El lenguaje utilizado en el enunciado de los problemas, explicitación entre las cantidades conocidas y desconocidas.
    Y la magnitud de las cantidades utilizadas.

Diferentes modelos en la enseñanza de las operaciones

Los modelos pueden ser diversas representaciones gráficas y simbólicas que ayudan al niño a reconocer la estructura esencial de un problema de enunciado y a seleccionar, en consecuencia, la estrategia idónea.

Es importante hacer hincapié en la progresión que va desde la capacidad del niño para resolver por métodos informales problemas prácticos que comportan una operación particular hasta el paso más avanzado que consiste en saber reconocer y simbolizar el problema.

Se pueden distinguir dos grandes grupos de representaciones:

  • Las representaciones manipulativas que reflejan perceptivamente los elementos que intervienen en el problema. Para hacer estas representaciones se pueden utilizar materiales manipulables incluidos los dedos.
  • Las representaciones simbólicas: las representaciones gráficas, apoyadas en diagramas y dibujos como la línea numérica, diagramas de Venn, diagramas de Vergnaud, diagramas de Fuson-Willis (que explicaré más adelante), las representaciones verbales y las representaciones numéricas.

👉 El material más elemental en problemas de suma y resta es material discreto como: canicas, lentejas, garbanzos, etc. También pueden utilizarse materiales didácticos estructurados como: los cubos encajables y las regletas de Cuisenaire.

Las regletas presentan mayores dificultades para las cantidades de carácter discreto que se manejan en el problema, ya que por sí mismas sólo muestran características continuas. No obstante, la continuidad de las regletas tiene la virtud de mostrar de forma inmediata cuáles serán las acciones a ejecutar.

También la balanza numérica sirve para reforzar el concepto de equivalencia o igualdad y por ello es particularmente adecuado para la resolución de problemas de comparación. Sin duda este modelo es más abstracto y por ello se recomienda retrasar su introducción respecto de los demás materiales.

Así como es necesario emplear distintos materiales, también resulta imprescindible trasladar representaciones manipulativas a gráficas y viceversa, de forma que posibiliten en el alumno una interiorización de las acciones realizadas por él mismo (conducta del relato).

  • Los diagramas de Venn muestran con claridad las cantidades iniciales, sin embargo no son tan evidente las acciones efectuadas, que consisten generalmente, en trazar una línea que rodee las cantidades anteriores.
  • La máquina operadora de Dienes consiste en una entrada donde se coloca el conjunto de partida, un operador que ejecuta las operaciones de añadir o quitar y una salida que cuantifica el resultado.
  • Los diagramas de Fuson-Willis se asemejan a las regletas Cuisenaire y tiene la virtud de diferenciar los distintos tipos de problemas de suma y resta.
  • Por último el modelo de la recta numérica muestra las cantidades iniciales con claridad (excepto en algunos problemas de comparación) así, como las acciones (traducidas como saltos en la recta) y la equivalencia acciones-resultado. Sin embargo, la construcción abstracta que supone puede ser un aspecto que conlleve una gran dificultad: cada cantidad viene representada por un punto, la suma y resta por un salto entre puntos.

La representación simbólica de las sumas y restas

Habitualmente, la introducción de la representación numérica se realiza a partir de las grafías, teniendo en cuenta que en algunos tipos de problemas, la estructura de los mismos y la estrategia que los resuelven no coinciden.

Este tipo de representación es el objetivo último que se propone en la escuela. En ella, el alumno ha sabido prescindir de los objetos concretos y buscar la cantidad y simbolizar la acción realizada sobre los objetos primero (y los números después):

  • Mediante el signo de adición (+) acciones como añadir, juntar… Las acciones aditivas.
  • Mediante el signo de sustracción (-) acciones como separar, quitar… Las acciones sustractivas.

De este modo el niño ha dotado de significado a las operaciones de suma y resta, en el sentido de asociar acciones a un determinado símbolo.

El aprendizaje de los hechos numéricos

Las estrategias basadas en el recuento y que en general son las primeras que utilizan los niños en los problemas aditivos: las estrategias de “contar desde el principio” y contar a partir del sumando mayor”.

Mas tarde, el niño recurre a “estrategias de descomposición” que comportan la descomposición o partición de uno de los números a utilizar. También se valen de estrategias de “compensación” en la que el cambio en uno de los sumandos es equilibrado por un cambio compensador en el otro.

En problemas de sumas

  • Estrategia de contar a partir del cardinal de uno de los sumandos normalmente a partir del mayor de ellos.
  • Estrategia de descomposición de los que destacamos dos tipos:
    1. Buscar dobles, ejemplo: 6+7 se piensa 6+6=12, 12+1=13, o 7+7=14, 14-1=13;
    2. Completar hasta diez, ejemplo 8+6 se piensa 8+2=10 y 10+4=14.
  • Estrategia de compensación: ejemplo 9+7 se piensa 8+8=16.
  • Supresión de ceros. Cuando se operan cantidades que terminan en ceros, se realiza la operación prescindiendo de ellos y luego se añaden: ejemplo: 150+80 se piensa 15+8=23 el resultado es 230.

En problemas de restas

  • Estrategia de emparejamiento que se aplica exclusivamente a problemas de comparación: ejemplo Rosa tiene 7 caramelos y Pablo 4 ¿Cuántos tiene más Rosa que Pablo?
  • Estrategia de quitar. Consiste en representar la cantidad total y a partir de ella la parte conocida que se quiere eliminar, el resultado será la diferencia o parte desconocida.
  • Estrategia de recuento. Contando regresivamente desde el mayor o progresivamente desde el menor.

Los problemas de sustracción se resuelven fundamentalmente, mediante estrategias de emparejamientos y de quitar. La primera estrategia se aplica exclusivamente a los problemas de comparación. La estrategia de quitar permite resolver problemas de tipo quitar así como los del tipo adición complementaria.

En ambos casos, cuando las estrategias pasan a tener el apoyo verbal o mental (a través del recuento) y no con materiales, este problema suele ser resuelto mediante la técnica del “recuento progresivo, especialmente cuando una de las cantidades involucradas en el problema es pequeña (menor o igual que 3).

¿Cómo enseñan Los algoritmos implicados en el cálculo tradicionalmente en la escuela?

La palabra algoritmo, es el término utilizado para denotar un procedimiento mecánico, a ejecutar paso a paso. El algoritmo tiene una doble naturaleza. Es un procedimiento de cálculo y al mismo tiempo, es un objeto de comprensión y construcción racional.

Tradicionalmente, se ha enseñado a los niños con la intención de que dominasen las destrezas de cálculo antes de que comenzaran a aplicarlas a situaciones y problemas prácticos. Se ha cargado mucho el acento, y sigue cargándose, en que los niños adquieran destreza y soltura en las rutinas del cálculo por escrito, independiente de si comprenden o no los fundamentos de tales técnicas.

Sin embargo, con el uso de las calculadoras, y de los ordenadores, cada vez más generalizado en los centros escolares, y con el conocimiento aportado por investigaciones realizadas sobre los métodos “informales” de los que se valen los niños para efectuar sus cálculos, ha surgido la idea de que la insistencia en los procedimientos algorítmicos típicamente utilizados en los cálculos con lápiz y papel, pueden ser, por una parte, innecesarios y en cierta medida perniciosos.

A los niños se les enseñan los algoritmos típicos para el cálculo por escrito de las operaciones aritméticas, y a la inmensa mayoría se les enseñan estos métodos como forma primaria de tratar los cálculos con números enteros (y con decimales), siendo estos métodos los únicos que se les enseñan. Por tanto, la mayor parte de los niños ignoran que tienen a su disposición una variedad de métodos.

Los algoritmos son universalmente enseñados, posiblemente porque constituyen el método más compartido y eficiente de manejar cálculos escritos. El método aprendido primero y aplicado después a todo tipo de números: grandes o pequeños, ya sean enteros o decimales.

La característica más destacada de tales procedimientos de cálculo es seguramente, su calidad “analítica” por una parte requieren la descomposición de los números en centenas, decenas y unidades, y así sucesivamente y por otra exigen que los dígitos sean manipulados separadamente, negando así la atención al aspecto global del número.

Este proceder es totalmente extraño a la forma en que se desarrollan los conceptos aritméticos en los niños y contrario a los métodos de cálculo de naturaleza intuitiva.

Este enfoque analítico del cálculo supone el aprendizaje de una serie de reglas, que aunque pueden ser recordadas, se aprenden en general sin justificación y que no suelen estar relacionadas con otros conocimientos aritméticos, distando mucho de contribuir a la comprensión de la noción de número; más bien acarrean y estimulan la creencia de que las matemáticas son esencialmente arbitrarias.

Los partidarios de mantener el aprendizaje mecánico afirman que es conveniente enseñar los algoritmos típicos de cálculo paso a paso, para que, posteriormente, el proceso sea mejor racionalizado por el niño.

En cualquier caso está claro que la enseñanza mecánica en el aprendizaje de algoritmos impone una considerable carga memorística, por lo que es verosímil que la mayoría de los niños acaben por olvidar algunas de las regla más o menos pronto. Y es en ese momento cuando el niño tiene que recurrir a echar mano de sus estructuras conceptuales, y éstas claramente dependerán de la comprensión que el niño haya alcanzado del significado y propiedades de las operaciones aritméticas.

Esta explicación concuerda con resultados que muestran una enseñanza significativa (contrariamente a la mecánica) del algoritmo de la sustracción que ha dado a la larga mejores resultados, a pesar de que a corto plazo, la enseñanza mecánica era más eficiente.

Para la enseñanza de los algoritmos hay que tener en cuenta que:

  • Los algoritmos se pueden aprender como simples rutinas lineales de acciones sin la necesidad de avances conceptuales previos.
  • La compresión conceptual de los principios del procedimiento que se sigue en un algoritmo tiene varias ventajas para su aprendizaje:
    • Que se recuerdan mucho mejor las distintas etapas del algoritmo al existir claves para su recuperación en la memoria. El comprender el algoritmo permite, entre otras cosas, su reconstrucción si se ha olvidado alguna de sus etapas.
    • Que se aumenta la posibilidad de transferencia hacia otros aprendizajes o una mejora del que se está utilizando.
    • Que el conocimiento conceptual permite reducir el número de errores cometidos.

Además de los algoritmos escritos existen otros métodos para realizar cálculos: mentales (cálculo mental), aproximados (estimación) y electrónicos (calculadora y ordenador).

Junto al cálculo con lápiz y papel, los niños deben aprender cuándo y cómo usar la calculadora y los diversos procedimientos de cálculo mental y de estimación. Estas formas de cálculo tienen una característica en común: su gran utilidad social. Gran parte de las operaciones comunes que realizamos son de carácter mental, estimativo o con ayuda de la calculadora, entre otras razones, porque en la vida cotidiana no se tiene siempre un lápiz y un papel a mano.

El cálculo mental es la realización de un procedimiento exacto de cálculo sin apoyo alguno para la memoria. Se trata de un proceso mental interno, y del que las otra personas sólo suelen percibir el resultado del cálculo, por lo que su evaluación es difícil y su implantación en el aula complicada.

Desde el punto de vista de la enseñanza, si se introducen los algoritmos clásicos como se ha propugnado, es decir, considerando los números a operar en su aspecto global, el cálculo mental puede trabajarse simultáneamente al de los algoritmos. En cambio, si se trabaja el cálculo mental con posterioridad a la enseñanza del algoritmo clásico, el primero tomará una forma parecida al segundo, perdiendo la naturalidad en su uso y la mayoría de sus virtudes.

Todo ello nos lleva a la conclusión de que el cálculo mental y el escrito se deben impartir simultáneamente al menos. Incluso puede ser aconsejable, que el cálculo mental sea previo al escrito y que éste adopte el objetivo de comprobar la exactitud del anterior.