Cómo enseñar matemáticas en primaria: el primer acercamiento a los números formales

Las matemáticas tienen gran importancia en educación primaria. Suponen el primer acercamiento formal a los números, las operaciones aritméticas y los problemas formales. Hasta ese momento, todo lo que conocen de las matemáticas lo han visto en la vida cotidiana y todos los conocimientos que poseen son informales basados en su corta experiencia.

Comprensión del concepto de número

Los dos enfoques básicos que se pueden seguir para desarrollar el concepto de número son: el punto de vista basado en los requisitos lógicos y el punto de vista basado en el recuento.

En cuanto al primero, la psicología ofrece dos explicaciones distintas sobre la comprensión del significado de los nombres de los números y del acto de contar. Desde uno de estos puntos de vista, los niños, antes de llegar a tener “uso de razón” (hacia los siete años de edad), son incapaces de comprender el número y la aritmética (por ejemplo, Piaget, 1975). Como contar no implica tener éxito en tareas de conservación, algunos psicólogos han llegado a la conclusión de que la experiencia de contar tiene poco o nada que ver con el desarrollo de un concepto numérico.

Por ejemplo, Piaget (1975) afirmaba que, aunque los niños aprenden a recitar la serie numérica y datos aritméticos a una edad relativamente temprana, consideraba que son meros actos verbales carentes de significado y que el desarrollo del concepto de número y de una manera significativa de contar depende de la evolución del pensamiento lógico. En este enfoque consideramos dos modelos: el cardinal y el de Piaget.

En el modelo cardinal se considera que los conceptos de relación de equivalencia y de correspondencia biunívoca son el fundamento de la matemática formal y se parte del fundamento psicológico del aprendizaje del concepto de número.

Las ideas fundamentales de Piaget en relación a la adquisición del concepto de números son:

  • Es necesario que los niños entiendan la seriación y la clasificación para comprender las relaciones de equivalencia y consecuentemente el significado del número, que es el resultado de la unión de conceptos de seriación y de clasificación, es decir, que el número no puede entenderse en términos de un único concepto lógico sino que constituye una síntesis única de conceptos lógicos.
  • Los niños que no han llegado al estadio operacional no pueden comprender el número ni contar significativamente, mientras que los niños que han llegado a él si pueden hacerlo.

Para Piaget, la conservación de la cantidad señala la llegada al estadio operacional y la conservación de la cantidad indica la comprensión de que una vez establecida la equivalencia de dos conjuntos, los cambios en la configuración de los conjuntos no modifican la citada relación de equivalencia. El niño que conserva se da cuenta de que el número de elementos de un conjunto no varía cuando varía su aspecto físico.

Un punto de vista alternativo al anterior está basado en el recuento y considera que los problemas y dificultades en las tareas de conservación se deben a un conocimiento incompleto de cómo se debe contar y no a la incapacidad para pensar lógicamente. Ideas fundamentales de este punto de vista son que:

  • Contar constituye un aspecto esencial para el desarrollo en el niño del concepto de número.
  • El número no se considera un concepto global, que es posible gracias a un cambio general en la manera de pensar de los niños, sino que este modelo que basa su explicación en la manera de contar aduce que la comprensión del número evoluciona lentamente como resultado directo de las experiencias de contar.
  • Los conceptos numéricos y contar significativamente se desarrollan de manera gradual, paso a paso, y son el resultado de aplicar técnicas para contar y conceptos de una sofisticación cada vez mayor.
  • Conforme los niños aumentan su comprensión del número y de contar, aplican el número y los procedimientos para contar de una manera cada vez más sofisticada. Esta creciente sofisticación desemboca a su vez en una comprensión mayor, etc.

Aprendizaje de la secuencia numérica

Anterior a la noción del recuento es la adquisición de la secuencia numérica. El dominio de esta secuencia se va adquiriendo a través de una serie de numéricos característicos de la concepción que tienen los niños acerca de ella y su dominio. Los niveles se identifican mediante las siguientes expresiones:

  • Nivel de cuerda.
  • Nivel de cadena irrompible.
  • Nivel de cadena rompible.
  • Nivel de cadena numerable.
  • Nivel de cadena bidireccional.

Aunque esto niveles indican la evolución en el aprendizaje de la secuencia numérica, no todos los niños pasan por todos ellos, ni tienen el mismo nivel respecto de diferentes tramos de la secuencia. La adquisición, por lo tanto se va haciendo por tramos que con la práctica se van consolidando y sucesivamente ampliando. 

Enseñanza del concepto de número.

Los principios o requisitos que los niños deben dominar para contar de una forma significativa son:

  • Principio de orden estable: este principio estipula que para contar es indispensable el establecimiento de una secuencia coherente de palabras numéricas. Los niños cuyas acciones están guiadas por este principio pueden utilizar la secuencia numérica convencional o una secuencia propia (no convencional) pero siempre de manera coherente.
  • Principio de correspondencia: para contar hay que establecer correspondencias biunívocas entre cada elemento que se va contando y una palabra numérica de la secuencia antes establecida. El principio de correspondencia está presente en cualquier intento de enumerara conjuntos y guía los esfuerzos de construir estrategias de control de los elementos contados y por contar.
  • Principio de unicidad. Emplear una secuencia de etiquetas distintas (palabras numéricas) y únicas para cada caso.
  • Principio de abstracción: El principio de abstracción se refiere a la cuestión de lo que puede agruparse para formar un conjunto. Para incluir elementos distintos en un conjunto, el niño debe pasar por alto las diferencias físicas de los elementos y clasificarlos como “cosas”. En el fondo, cuando creamos un conjunto de elementos distintos encontramos (abstraemos) algo común a todos los elementos.
  • Principio del valor cardinal: Basarse en el último elemento contado en respuesta a una pregunta sobre una cantidad. La última palabra numérica de la serie establecida, que se corresponde con el último elemento contado de un conjunto, es su cardinal. Los niños pueden construir el principio del valor cardinal reflexionando sobre sus actividades de contar.
  • Principio de la irrelevancia del orden: La distribución de los elementos y el orden de su enumeración no influyen en la designación cardinal del conjunto.

Una vez que el niño ha llegado a dominar los conceptos básicos para contar que se refieren a un solo conjunto, la acción de contar puede aplicarse a contextos más complicados como la comparación de dos conjuntos. También puede emplearse la acción de contar para descubrir que la apariencia no es pertinente para determinar si dos conjuntos son iguales o no.

A partir de experiencias repetidas de contar, saben que si no se añade ni se quita nada a dos conjuntos equivalentes, esta equivalencia permanece constante por mucho que varíe la distribución espacial. Es decir, tarde o temprano los niños infieren una regla de equivalencia entre conjuntos, relativamente abstracta, basada en una correspondencia biunívoca que complementa sus reglas de equivalencia, más concretas, basadas en números específicos.

Así pues, según el punto de vista centrado en la manera de contar, la experiencia de contar es la clave para hacer explícitas y ampliar las nociones intuitivas de equivalencia y orden de magnitud (tamaño) entre conjuntos. En pocas palabras, parece que contar es la vía natural por la que los niños pueden llegar a comprender las relaciones de equivalencia entre conjuntos y de orden con números no intuitivos.

Mediante las experiencias de contar, los niños también descubren qué es lo que hace cambiar un número. Si los cambios de orden o distribución no alteran el valor cardinal de un conjunto, ciertos tipos de transformación sí que lo hacen (por ejemplo, añadir o quitar objetos).

Descubrir los efectos de añadir o quitar una unidad depende de unas técnicas numéricas eficaces. A partir de sus experiencias informales de contar los niños construyen conceptos aritméticos básicos pero generales. Más concretamente, como resultado de sus experiencias informales, los niños consideran la adición como un proceso aumentativo (añadir algo a una cantidad dada) y la sustracción como un proceso de disminución (quitar algo de una cantidad dada).

Cuando los niños llegan a ser competentes en la enumeración o pueden captar directamente las pautas numéricas, podemos considerar que están listos para percatarse de relaciones aritméticas importantes. La “captación directa” implica el reconocimiento automático de pautas numéricas.

El lugar del reconocimiento automático de pautas numéricas en el desarrollo del número es una cuestión que todavía queda abierta. Desde el punto de vista de Piaget, los niños muy pequeños reconocen simplemente una pauta completa, pero esto no implica una comprensión del número. Los niños no reconocen simultáneamente una pauta numérica como una totalidad (una unidad en sí misma) y un conjunto de partes (unidades individuales) hasta que llegan al estadio del pensamiento operacional. Según el otro punto de vista, contar precede a la “captación directa”.

En otras palabras, los niños aprenden a enumerar colecciones correctamente antes de poder reconocer conjuntos con precisión y rapidez. En cualquier caso, los dos modelos indican que la captación directa es una técnica fundamental en el desarrollo de la comprensión del número por parte del niño. Cuando los niños pueden reconocer automáticamente una pauta, pueden descubrir aspectos importantes del número.

Los puntos de vista que establecen como requisitos previos la lógica y las técnicas para contar suponen implicaciones educativas substancialmente distintas. Según la primera, es inútil dedicar directamente los esfuerzos iniciales de la enseñanza al número a técnicas para contar y para la segunda alternativa la instrucción inicial debe centrarse directamente en el desarrollo de técnicas y conceptos específicos para contar y estimular su aplicación.

Desde los modelos de los requisitos lógicos, se considera que conceptos como la correspondencia biunívoca y “más que” son mucho más fundamentales y, de hecho, son requisitos previos para un desarrollo significativo de contar, sin ellos, la enseñanza de contar y del número está condenada a carecer de sentido. Por tanto, la enseñanza de la matemática debe fomentar, en primer lugar, el desarrollo de conceptos lógicos y del razonamiento.

Según el otro punto de vista, debemos centrarnos en la instrucción inicial, en el desarrollo de habilidades del recuento y actividades que estimulen y potencien su aplicación. En pocas palabras, la cuestión es si la enseñanza de las matemáticas elementales debe impartirse formalmente sobre la base de unos conceptos lógicos básicos o informalmente mediante el contar.

En el enfoque cardinal, o de la llamada Matemática Moderna, se destaca la enseñanza de la teoría de conjuntos; la instrucción inicial se centra en cultivar los conceptos de clase (clasificación e inclusión de clases) y equivalencia (correspondencia biunívoca). Sin embargo, este tipo de enfoques formales son ajenos a los niños pequeños.

Algunos educadores piagetianos afirman que, como las primeras etapas de desarrollo intelectual limitan la capacidad del niño para comprender el número, la enseñanza inicial de las matemáticas debe estar concebida para fomentar el desarrollo del pensamiento operacional, con el objetivo general de fomentar la capacidad para el pensamiento lógico. Desde el punto de vista piagetiano, es inútil enseñar el número (contar y la aritmética) directamente. Primero se deben desarrollar los requisitos psicológicos; comprender las clases, las relaciones y la correspondencia biunívoca. Establecer correspondencias, clasificar y ordenar son procesos que subyacen al concepto de número. De ahí que la experiencia de clasificar, comparar y ordenar proporcione el fundamento necesario para el nivel más elevado de abstracción necesario para el número.

El desarrollo de contar y del significado y los nombres de los números sólo debe darse después de muchas experiencias de clasificación, ordenación y establecimiento de correspondencias. Sin embargo, hay pocos datos que justifiquen este enfoque piagetiano en los inicios de la enseñanza elemental. En realidad, hay datos que parecen apoyar la idea de que el número no depende del desarrollo de la clasificación formal o de técnicas de seriación como describe Piaget. Además, la capacidad de comparar conjuntos contando no depende del dominio de la correspondencia biunívoca. Los niños pueden aprender mucho acerca de contar, del número y de la aritmética antes de poder conservar.

En resumen, no se ha demostrado empíricamente que sea necesario tener éxito en tareas “operacionales” como la inclusión de clases, la seriación el establecimiento de correspondencias biunívocas y la conservación de la cantidad para alcanzar una comprensión básica del número, de contar y de la aritmética.

Para que los niños desarrollen de forma progresiva su comprensión del número y lo utilicen de forma significativa en aplicaciones numéricas, es fundamental la experiencia de contar y, excepto para alguna noción especial, no se debería aplazar la enseñanza del recuento y del número. Además, a partir de experiencias concretas de recuento y de reconocimiento de pautas, los niños pueden aprender qué es lo que modifica o no modifica el tamaño de un conjunto y que además permiten ampliar la idea intuitiva de equivalencia y orden. No obstante, y aunque la enseñanza inicial del número es más significativa para los niños, hay que hacer ver también a nuestro alumnos que la enseñaza formal y lógica de la teoría de conjuntos es útil por derecho propio.

El proceso que consiste en percibir una cantidad de objetos casi de forma instantánea se denomina “subitización”. Esta forma de establecer la cantidad de objetos que hay en una colección se utiliza cuando esa cantidad es pequeña o tiene una configuración espacial (la que tienen los puntos de las caras de un dado por ejemplo) que permite asignar fácilmente el cardinal. Esta habilidad se mejora con la práctica y con la edad, pero siempre está asociada a cantidades pequeñas de objetos. Cuando el número es grande resulta insuficiente y se requiere el proceso de recuento.

El recuento viene determinado por los principios que se han mencionado anteriormente. Suele ser una actividad habitual en clase realizar el recuento de objetos variando el tipo de situación que se plantea a los alumnos. Desde el recuento de los propios niños que están en clase, objetos que pueden manipular, imágenes de objetos reales, movimientos, palabras, los propios números, objetos sin ningún tipo de significado (palotes, bolitas,…)…

Lectura y escritura de cifras

La escritura y lectura de las cifras es un aprendizaje de tipo motor que no tiene nada que ver con la comprensión del concepto de número, aunque resulta un apoyo para establecer las etiquetas que permiten reconocer las cantidades. Son una forma de codificar y comunicar información, por lo que resulta un aprendizaje totalmente imprescindible.

El dominio de este simbolismo está relacionado con las habilidades de preescritura y escritura, que conllevan la habilidad para utilizar los instrumentos de escritura, orientar correctamente el papel, adquirir hábitos relativos a la posición del cuerpo, seguir unas pautas de escritura, copiar modelos (primeramente líneas rectas y curvas simples y luego combinadas).

Normalmente este aprendizaje se adquiere por la repetición de actividades que requieren la coordinación de la vista y la mano: recorrer con el dedo una plantilla, hacer símbolos sobre arena, dibujar las cifras en el aire…

Muchas veces estas actividades se apoyan con canciones y cuentos que ayudan al alumno a recordar la apariencia global de los números. Para consolidar el trabajo se realizan actividades con plantillas o pautas de trazos discontinuos que van desapareciendo progresivamente igual que en las actividades de caligrafía.

Otros procedimientos para contar

En las situaciones en las que no se puede o no se necesita realizar el recuento exacto se utilizan otros procesos como son la aproximación o la estimación. En general, se ha prestado poca atención a estos procesos en la enseñanza primaria aunque estén expresamente formulados en los currículos oficiales. Las características que definen la estimación son las siguientes:

  • Consiste en valorar una cantidad o el resultado de una operación
  • El sujeto que debe hacer la valoración tiene alguna información referencia o experiencia sobre la situación que debe enjuiciar
  • La valoración se realiza por lo general de forma mental
  • Se hace con rapidez y empleando números lo más sencillos posibles
  • El valor asignado no tiene que ser exacto pero sí adecuado para tomar decisiones
  • El valor asignado admite distintas aproximaciones, dependiendo de quién realice la estimación (Segovia y otros, 1989) 

Otro procedimiento que se puede utilizar para establecer un cardinal depende de la utilización y dominio de las cuatro operaciones elementales y sus propiedades. Este procedimiento se utiliza cuando hay que relacionar las partes de un conjunto con el conjunto total.

Errores y dificultades

En relación con el recuento los errores que suelen tener los niños son:

  • Errores relacionados con el recitado de los números: no decir las palabras en el orden adecuado, saltarse algunas, incluir palabras de su propia invención (diecicuatro)
  • Errores de coordinación: Están relacionados con la asignación de palabras a los objetos del recuento. Los más comunes son utilizar una misma palabra para señalar varios objetos como consecuencia del silabeo, o justamente, al contrario, utilizar varias palabras de la secuencia numérica para un único objeto.
  • Errores de partición. Estos errores se producen por la falta de distinción entre los objetos contados y los que quedan por contar. Se producen fundamentalmente por una utilización incorrecta del principio uno a uno, o bien, por la ausencia de técnicas para distinguir los dos conjuntos: separación de objetos, tachado, línea poligonal,… 

En cuanto a la grafía de las cifras correspondientes a los diez primeros números, los errores más habituales son:

  • Errores de inversión de grafía. Esto suele ser bastante frecuente en relación con ciertos números como el 3, el 2, el 5….
  • Errores caligráficos que les llevan a confundir los números que ellos mismos han escrito
  • Errores de recorrido cuando utilizan recorridos incorrectos para realizar las cifras que pueden estar implicados en los dos tipos de errores anteriormente mencionados. 

Materiales y recursos

Es esencial que los niños utilicen material concreto para adquirir las primeras nociones numéricas. Se trata de que se empiecen estos conceptos numéricos asociados a objetos fácilmente manipulables para que los niños vayan adquiriendo el sentido de los números. Las posibilidades son enormes puesto que prácticamente todos los objetos discretos se pueden contar.

La secuencia numérica se practica con canciones en las que se realiza un recuento. También se pueden utilizar tarjetas para establecer el orden de la secuencia y para el trabajo con los números existen numerosos juegos y adivinanzas que se utilizan para consolidar los aprendizajes.

Para realizar asociaciones de cantidades con las cifras y las palabras numéricas se suelen utilizar dominós, tablas de doble entrada, etiquetas de números…